Schaltungen für binäre Arithmetik Einleitung Binäre Arithmetik ist ein kombinatorisches Problem. Es mag trivial erscheinen, die Methoden zu verwenden, die wir bereits gesehen haben, um kombinatorische Schaltkreise zu entwerfen, um Schaltungen für binäre Arithmetik zu erhalten. Allerdings gibt es ein Problem. Es stellt sich heraus, dass die normale Art, solche Schaltkreise zu schaffen, oftmals zu viele Tore verbrauchen würde. Wir müssen nach verschiedenen Wegen suchen. Binäre Integer-Addition Für die Binär-Integer-Ergänzung können wir unsere Anforderung an die Schaltungstiefe opfern, die wir bisher hatten, um weniger Tore zu benutzen. Die resultierende Schaltung ist von einer Art, die wir eine iterative kombinatorische Schaltung nennen. Da es mehrere Kopien eines einfachen Elements enthält. Für die binäre Addition wird das einfache Element als Volladdierer bezeichnet. Ein voller Addierer ist eine kombinatorische Schaltung (oder eigentlich zwei kombinatorische Schaltungen) von drei Eingängen und zwei Ausgängen. Seine Funktion besteht darin, zwei Binärziffern plus einen Übertrag von der vorherigen Position hinzuzufügen und ein Zwei-Bit-Ergebnis zu geben, die normale Ausgabe und die Übertragung zur nächsten Position. Hier ist die Wahrheitstabelle für einen vollständigen Addierer: Hier haben wir die Variablennamen x und y für die Eingänge, c-in für den Carry-In, s für die Summenausgabe und c-out für die Durchführung verwendet. Ein kompletter Addierer kann mit unseren üblichen Designmethoden für kombinatorische Schaltungen trivial gebaut werden. Hier ist das resultierende Schaltplan: Der nächste Schritt besteht darin, eine Reihe solcher Volladdierer in eine Schaltung zu kombinieren, die zwei 8-Bit-positive Zahlen addieren kann. Wir tun dies, indem wir die Durchführung von einem vollständigen Addierer an den Carry-In des Volladdierers sofort nach links anschließen. Der rechtsextreme Addierer nimmt einen 0 bei seinem Carry-In. Hier haben wir den Index für die i-te binäre Position verwendet. Wie Sie sehen können, ist die Tiefe dieser Strecke nicht mehr zwei, sondern wesentlich größer. Tatsächlich wird der Ausgang und der Übertrag von der Position 7 teilweise durch die Eingänge der Position 0 bestimmt. Das Signal muss alle Volladdierer mit einer entsprechenden Verzögerung durchqueren. Es gibt Zwischenlösungen zwischen den beiden Extremen, die wir bisher gesehen haben (d. h. eine kombinatorische Schaltung für den gesamten (sagen) 32-Bit-Addierer und eine iterative kombinatorische Schaltung, deren Elemente ein Bit-Addierer sind, die als gewöhnliche kombinatorische Schaltungen aufgebaut sind). Wir können zum Beispiel einen 8-Bit-Addierer als gewöhnliche zweistufige kombinatorische Schaltung aufbauen und einen 32-Bit-Addierer aus vier solchen 8-Bit-Addierern aufbauen. Ein 8-Bit-Addierer kann trivial aus 65536 (2 16) und - Gates und einem riesigen 65536-Eingang oder - Gate gebaut werden. Eine weitere Zwischenlösung besteht darin, sogenannte Carry-Beschleuniger-Schaltungen zu bauen. Zu vervollständigen. Binäre Subtraktion Unser Binär-Addierer kann bereits mit negativen Zahlen umgehen, wie im Abschnitt Binär-Arithmetik angegeben. Aber wir haben nicht darüber gesprochen, wie wir es mit Subtraktion behandeln können. Um zu sehen, wie dies geschehen kann, beachten Sie, dass, um den Ausdruck x-y zu berechnen. Wir können den Ausdruck x - y stattdessen berechnen. Wir wissen aus dem Abschnitt über die binäre Arithmetik, wie man eine Zahl durch Invertieren aller Bits und Hinzufügen von 1 negiert. So können wir den Ausdruck als x inv (y) 1 berechnen. Es genügt, alle Eingänge des zweiten Operanden zu invertieren, bevor sie den Addierer erreichen, aber wie fügen wir die 1. Das scheint einen anderen Addierer nur dafür zu erfordern. Zum Glück haben wir ein unbenutztes Carry-In-Signal auf Position 0, die wir verwenden können. Wenn man eine 1 auf diesen Eingang gibt, fügt man dem Ergebnis einen zu. Die komplette Schaltung mit Addition und Subtraktion sieht so aus: Binäre Multiplikation und Division Binärmultiplikation ist noch härter als binäre Addition. Es gibt keine gute iterative kombinatorische Schaltung zur Verfügung, so müssen wir noch schwerere Artillerie verwenden. Die Lösung wird sein, um eine sequentielle Schaltung zu verwenden, die eine Addition für jeden Taktimpuls berechnet. Wir werden dies noch in einem späteren Abschnitt besprechen, da es Mecanismen braucht, die wir noch nicht besprochen haben.4-BIT BINARY DIVIDER Transkript von 4-BIT BINARY DIVIDER In diesem Projekt wollen wir eine Schaltung entwerfen, die die traditionelle Langhand-Division implementiert. Bei zwei unsignierten n-Bit-Zahlen A und B wollen wir eine Schaltung entwerfen, die zwei n-Bit-Ausgänge Q und R erzeugt, wobei Q der Quotient AB und R der Rest ist. Ein Algorithmus für die Teilung wird auf dem Code unten angezeigt. Dies kann durch Verschieben der Ziffern in A nach links, jeweils eine Ziffer in ein Schieberegister R erfolgen. Nach jedem Schaltvorgang vergleichen wir R mit B. Wenn RB a 1 in die entsprechende Bitposition platziert wird Der Quotient und B wird von R subtrahiert. Andernfalls wird ein 0-Bit in den Quotienten gesetzt. Die Notation RA wird verwendet, um ein 2n-Bit-Schieberegister darzustellen, das unter Verwendung von R als die am weitesten links liegenden n Bits und A als die am weitesten rechts liegenden n Bits gebildet wird. 4-BIT BINARY DIVIDER I. INTRODUCTION Ein Algorithmus ist eine wohldefinierte Folge von Schritten, die eine gewünschte Folge von Aktionen als Reaktion auf eine gegebene Folge von Eingängen erzeugt. ASM (Algorithmic State Machine) ist nützlich bei der Entwicklung von synchronen sequentiellen Netzwerk mit Flussdiagramm, die ähnlich wie bei der Computerprogrammierung verwendet wird. Es ist sehr nützlich bei der Gestaltung von FSM (Finite State Machine). Das Entwerfen mit ASM ermöglicht es Menschen, komplexere Systeme zu behandeln. Heutzutage werden häufig programmierbare Gate-Arrays (FPGAs) für komplexe System-on-Chip (SoC) - Designs verwendet. Sie orientieren sich für die Kfz-Steuerung, die Online-Datenverarbeitung und eine breite Palette an Rechenaufgaben. Die Division-Operation wird in diesen Aufgaben sehr oft verwendet, insbesondere für die Berechnung der Koordinaten eines Objekts oder eines Punktes auf einem Raster in Echtzeit. Da das Ergebnis der Division in vielen Fällen ein Näherungswert ist, kann dies die Lösung beeinflussen und zu den nachfolgenden Fehlerresultaten führen. ASM-Diagramm für Steuerschaltung Ein ASM-Diagramm, das nur die für den Teiler benötigten Steuersignale anzeigt, ist auf dem linken Diagramm angegeben. Im Zustand S3 bestimmt der Wert von Cout, ob die Summe des Ausgangssignals des Addierers in R geladen ist oder nicht. Die Schaltfreigabe auf Q wird im Zustand S3 aktiviert. Wir müssen nicht angeben, ob 1 oder 0 in Q geladen ist, da Cout mit dem seriellen seriellen Eingang in der Datenpfadschaltung verbunden ist. Datapath-Schaltung für Divider Wir benötigen n-Bit-Schieberegister, die nach rechts für A, R und Q wechseln. Für B wird ein n-Bit-Register benötigt und ein Subtrahierer wird benötigt, um R B zu erzeugen. Wir können ein Addierermodul verwenden In dem der Carry-In auf 1 gesetzt ist und B ergänzt wird. Der Durchlauf, Cout dieses Moduls hat den Wert 1, wenn die Bedingung R B wahr ist. Somit kann der Durchlauf mit dem seriellen Eingang des Schieberegisters verbunden werden, das Q hält, so daß es im Zustand S3 in Q verschoben wird. Da R mit 0 im Zustand S1 und aus den Ausgängen des Addierers im Zustand S3 geladen ist, wird ein Multiplexer für die parallelen Dateneingänge auf R benötigt. Die Datenpfadschaltung ist oben dargestellt. AS ASM CHARTE UND BESCHRÄNKUNGEN Unser Projekt dreht sich alles um einen 4-Bit Binärteiler. Die Schaltung führt nur die Aufteilung von 4-Bit-Binärzahlen durch. Addition, Subtraktion und Multiplikation von Binärzahlen können in diesem Projekt oder Schaltkreis nicht durchgeführt werden. Die maximale Ziffer, die ausgeführt werden kann, ist 1111, was 15 im Dezimalwert ist und die zu berechnende Minimalzahl 0000 ist, was 0 im Dezimalwert ist. In dem Ausdruck A B Q, wobei A der Dividend ist, B der Divisor ist und Q der Quotient ist, beschränken wir unsere Projekte, bei denen A, Dividend immer größer als B, Divisor AgtB ist. Weitere Präsentationen von Gil FilomenoBinary Math Circuits Dont nur dort sitzen Build etwas Lernen, digitale Schaltungen zu analysieren erfordert viel Studium und Praxis. In der Regel üben die Schüler durch die Durchführung von vielen Stichprobenproblemen und überprüfen ihre Antworten gegen diejenigen, die vom Lehrbuch oder dem Lehrer zur Verfügung gestellt werden. Während das gut ist, gibt es einen viel besseren Weg. Sie werden viel mehr lernen, indem Sie tatsächlich echte Schaltungen aufbauen und analysieren. Lassen Sie Ihre Testausrüstung die 8220answers anstelle eines Buches oder einer anderen Person. Für erfolgreiche Schaltungsaufbauten gehen Sie folgendermaßen vor: Zeichnen Sie das schematische Diagramm für die zu analysierende Digitalschaltung. Sorgfältig bauen diese Schaltung auf einem Brot oder anderen bequemen Medium. Überprüfen Sie die Genauigkeit des Schaltungsaufbaus, folgen Sie jedem Draht zu jedem Verbindungspunkt und überprüfen Sie diese Elemente einzeln auf dem Diagramm. Analysieren Sie die Schaltung und bestimmen Sie alle Ausgangslogikzustände für gegebene Eingangsbedingungen. Diese Logikzustände sorgfältig messen, um die Genauigkeit Ihrer Analyse zu überprüfen. Wenn es irgendwelche Fehler gibt, überprüfen Sie sorgfältig Ihre Schaltkreise gegen das Diagramm, dann sorgfältig neu analysieren die Schaltung und neu zu messen. Achten Sie immer darauf, dass die Stromversorgungsspannungspegel innerhalb der Spezifikation für die zu verwendenden Logikschaltungen liegen. Wenn TTL, muss die Stromversorgung eine 5-Volt-geregelte Versorgung sein, die auf einen Wert von nahezu 5,0 Volt DC eingestellt ist. Eine Möglichkeit, die Sie Zeit sparen und die Möglichkeit des Fehlers reduzieren können, ist, mit einer sehr einfachen Schaltung zu beginnen und inkrementell Komponenten hinzuzufügen, um ihre Komplexität nach jeder Analyse zu erhöhen, anstatt eine ganze neue Schaltung für jedes Praxisproblem aufzubauen. Eine weitere zeitsparende Technik besteht darin, die gleichen Komponenten in einer Vielzahl unterschiedlicher Schaltungskonfigurationen wiederzuverwenden. Auf diese Weise müssen Sie keine Komponenten mehr als einmal messen. Lassen Sie die Elektronen selbst geben Ihnen die Antworten auf Ihre eigenen Praxis Probleme Es war meine Erfahrung, dass die Schüler viel Praxis mit Schaltkreisanalyse, um kompetent zu werden. Zu diesem Zweck bieten die Instruktoren ihren Schülern in der Regel viele praktische Probleme, um durchzuarbeiten und Antworten für Studenten zu geben, um ihre Arbeit zu überprüfen. Während dieser Ansatz macht die Schüler in der Schaltungstheorie kompetent, es versagt es, sie vollständig zu erziehen. Studenten brauchen nicht nur mathematische Praxis. Sie brauchen auch echte, praktische Übungskreise und verwenden Testgeräte. Also schlage ich den folgenden alternativen Ansatz vor: Die Schüler sollten ihre eigenen Praxisprobleme mit echten Komponenten aufbauen und versuchen, die verschiedenen Logikzustände vorherzusagen. Auf diese Weise wird die digitale Theorie lebendig, und die Schüler erhalten praktische Kompetenz, die sie nicht nur durch die Lösung boolescher Gleichungen oder die Vereinfachung der Karnaugh-Karten gewinnen würden. Ein weiterer Grund für diese Methode der Praxis ist es, Studenten wissenschaftliche Methode zu lehren. Der Prozeß des Testens einer Hypothese (in diesem Fall logische Zustandsvorhersagen) durch die Durchführung eines realen Experiments. Die Schüler werden auch echte Fehlerbehebungsfähigkeiten entwickeln, da sie gelegentlich Schaltungsbaufehler verursachen. Verbringen Sie ein paar Momente Zeit mit Ihrer Klasse, um einige der Regeln für den Bau von Schaltungen zu überprüfen, bevor sie beginnen. Besprechen Sie diese Probleme mit Ihren Schülern in der gleichen sokratischen Weise, die Sie normalerweise die Arbeitsblatt Fragen zu diskutieren, anstatt nur ihnen zu sagen, was sie sollten und sollten nicht tun. Ich habe nie aufgehört zu staunen, wie schlecht die SchülerInnen in einem typischen Vortrag (Instruktormonolog) - Formate Anweisungen einholen. Ich empfehle CMOS-Logikschaltkreise für Heimversuche, bei denen die Schüler keinen Zugang zu einer 5-Volt-geregelten Stromversorgung haben. Moderne CMOS-Schaltkreise sind im Hinblick auf die statische Entladung weitaus robuster als die ersten CMOS-Schaltungen, so dass die Befürchtungen von Schülern, die diese Geräte schädigen, indem sie kein eigenes Laboratorium zu Hause haben, weitgehend unbegründet sind. Eine Notiz an jene Lehrer, die sich über die verschwendete Zeit beschweren können, um Studenten zu haben, die echte Schaltkreise bauen, anstatt nur mathematische theoretische Schaltungen zu analysieren: Was ist der Zweck der Schüler, die Ihren Kurs nehmen Wenn Ihre Schüler mit echten Schaltungen arbeiten, dann sollten sie lernen Auf echten Schaltungen, wann immer möglich. Wenn Ihr Ziel ist, theoretische Physiker zu erziehen, dann mit abstrakten Analysen zu halten, mit allen Mitteln Aber die meisten von uns planen für unsere Schüler, etwas in der realen Welt mit der Ausbildung zu tun, die wir ihnen geben. Die verschwendete Zeit verbrachte Gebäude echte Schaltungen wird riesige Dividenden zahlen, wenn es Zeit für sie ist, ihr Wissen auf praktische Probleme anzuwenden. Darüber hinaus, mit Studenten bauen ihre eigenen Praxis Probleme lehrt sie, wie man primäre Forschung durchzuführen. Damit sie ihre elektroelektronische Ausbildung autonom fortsetzen können. In den meisten Wissenschaften sind realistische Experimente viel schwieriger und teurer aufzubauen als elektrische Schaltungen. Nuklearphysik, Biologie, Geologie und Chemie Professoren würde einfach nur in der Lage sein, ihre Schüler gelten fortgeschrittene Mathematik zu realen Experimente, die keine Sicherheitsgefahr und kostet weniger als ein Lehrbuch. Sie können nicht, aber Sie können. Nutzen Sie die Bequemlichkeit, die Ihrer Wissenschaft innewohnt, und holen Sie die Schüler von Ihnen, die ihre Mathematik üben, auf viele reale Schaltungen. Haben Ihre Schüler erklären ihren Entwurfsprozess zu Ihnen, Schritt für Schritt. Dieser Schaltplan ist einfach genug, um in den Seiten eines Lehrbuchs zu entdecken, also nicht überrascht sein, wenn die Schüler einfach kopieren, was sie sehen, ohne zu versuchen, zu verstehen, wie es funktioniert Ableiten der beiden kaskadierten Ex-ODER-Tore aus dem booleschen Ausdruck ist ein bisschen schwierig, aber nicht unmöglich. Erinnern Sie Ihre Schüler, wenn nötig, dass das boolesche Äquivalent für die Ex-OR-Funktion AB AB ist und dass die Ex-NOR-Funktion AB A B ist. Erklären Sie den Unterschied zwischen einem Ripple-Addierer und einem Look-Ahead-Addierer. Was bedeutet der Begriff Ripple in diesem Kontext bedeuten Warum ist Welligkeit potenziell eine schlechte Sache für eine digitale Addierer-Schaltung Ripple-Addierer aktualisieren ihre Ausgangsbits eins zu einer Zeit und nicht gleichzeitig. Dies führt zu falschen, vorübergehenden Ausgangszuständen. Der Ripple-Effekt, der in einfachen Binär-Addierer-Schaltungen gesehen wird, ist nicht auf Addierer beschränkt. Einige Gray-to-Binär-Code-Konverter und Counter-Schaltungen zeigen auch Welligkeit mit den gleichen schädlichen Effekten. Vergleichen Sie die folgenden zwei Schaltungen, wobei der erste ein digitaler Addierer ist und der zweite ein analoger Sommer ist: Diese beiden Schaltkreise führen die gleiche mathematische Funktion aus, doch die Manieren, in denen sie diese Funktion ausführen, sind ganz anders. Vergleichen und kontrastieren Sie den digitalen Addierer und die analogen Sommer-Schaltungen, die hier gezeigt werden, unter Angabe aller Vor - oder Nachteile von jedem. Ich gebe nicht direkt Antworten hierher, aber ich werde ein paar Kriterien aufführen, die du für den Vergleich und den Kontrast verwenden möchtest: Auflösung Genauigkeit Geschwindigkeit Kosten Diese Frage ist nicht wirklich spezifisch für addersummer Schaltungen, wie es zuerst erscheinen kann. Der grundlegende Vergleich, der in dieser Frage gezogen wird, ist zwischen digital und analog. Dies ist ein wichtiges Konzept für die Schüler zu begreifen, da beide ihre Rollen in der modernen Elektronik haben. Ein gemeinsamer Irrtum ist, dass Digital in allen Fällen besser ist, aber die Wahrheit ist, dass sowohl digital als auch analog ihre jeweiligen Stärken und Grenzen haben. Erläutern Sie den Zweck eines Größenkomparators IC wie der 74LS85. Welche Funktion, oder Funktionen, funktioniert es Ich lasse Sie das Datenblatt für einen Größen-Komparator auf eigene Faust zu entdecken, die Antwort (s) Achten Sie darauf, Studenten zu fragen, wo sie ihre Informationen erhalten haben. Es ist sehr einfach, Datenblätter online (über das Internet) zu erhalten, so dass es bequem ist, kurze Forschungsprojekte wie diese zuzuordnen. Erforschen Sie das Datenblatt einer integrierten arithmetischen Logikeinheit wie dem 74AS181 und bestimmen Sie, wie ihre verschiedenen Betriebsarten (Addition, Subtraktion, Vergleich) ausgewählt werden. Dies ist ein kleines Forschungsprojekt, das ich Ihnen überlassen werde. Seien Sie sicher, eine Kopie Ihres IC-Datenblatts zur Klasse zur Diskussion zu bringen. Folgende Frage: Ein interessantes Merkmal des 74AS181 ist, dass es 8220arithmetische Funktionen sowie Logikfunktionen bietet. Diese beiden Modi könnten auch als binär und boolean bezeichnet werden. Erklären Sie, was diese beiden Betriebsarten voneinander unterscheidet und warum sie anders klassifiziert werden. Obwohl die 74181 ALU eine etwas veraltete IC ist (in der Tat sind einige Versionen von diesem Schreiben veraltet - 2005), steht es als ein einfaches Beispiel für Studenten, aus dem man lernen kann. Eine solche Schaltung stellt ein gutes Beispiel für die Integrationsfähigkeit dar, im Gegensatz zum Aufbau einer ähnlichen Logikfunktion von einzelnen Toren (nicht zu diskreten Transistoren). Die Folgefrage bringt einen Punkt hervor, auf den viele Schüler verwechselt werden: die Unterscheidung zwischen binären (numerischen) und booleschen (bitweisen) Operationen. Binär ist ein platzgewichtetes Zählsystem. Verwendet, um reale Zahlen mit nur zwei Staaten pro Ort zu symbolisieren. Boolean ist ein Zahlensystem, das durch nur zwei mögliche Werte gekennzeichnet ist. Da sowohl binär als auch boolean etwas mit zwei-geschätzten Mengen zu tun haben, glauben viele Schüler, dass die beiden austauschbaren Begriffe und Konzepte sind. Allerdings sind sie nicht, und eine Untersuchung der beiden Betriebsarten dieser ALU hebt die Unterscheidung hervor. Ein Arithmetik-Trick, der oft bei der Arbeit mit dem metrischen System verwendet wird, ist Multiplikation-zu-Zehn und Division-by-Ten durch Verschiebung des Dezimalpunktes. Ein ähnlicher Trick kann auf Binärzahlen angewendet werden, mit ähnlichen Ergebnissen. Bestimmen Sie, welche Art von Multiplikation oder Division erfolgt ist, wenn der Binärpunkt in einer Binärzahl verschoben wird. Erforschung des Datenblatts einer arithmetischen Logikeinheit (ALU), um zu sehen, ob und wie diese Funktion implementiert ist. Das Verschieben des Binärpunktes führt entweder zu einer Multiplikation oder einer Division durch zwei. Eine multiplikative Verschiebung wird durch die 74AS181 ALU durch die arithmetische Funktionsauswahl 1100 2 (C 16) durchgeführt. Herausforderung Frage: erklären, wie Multiplikation oder Division durch eine binäre Menge kann mit aufeinanderfolgenden Bit-Verschiebungen und Ergänzungen durchgeführt werden. Zum Beispiel zeigen Sie, welche Schritte Sie ergreifen könnten, um jede Binärzahl um fünf (101 2) zu multiplizieren, wobei nur binäre Punktverschiebung und Addition (en) verwendet wird. Viele arithmetische Tricks, die im dezimalen Zählsystem vorhanden sind, sind mit einer leichten Revision auch im binären Zählsystem anwendbar. Dies ist ein populärer und wird oft von klugen Computerprogrammierern verwendet, um schnelle Multiplikations-zu-Zwei - oder Divisions-Zwei-Operationen auszuführen, wenn herkömmliche Multiplikationsbefehle mehr Zeit in Anspruch nehmen. Erläutern Sie die Bedeutung der digitalen Zeilen A, B, F und S in der folgenden schematischen Darstellung:
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